康托尔集(摩托尔创立的什么理论)
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2023-12-04
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1. 康托尔集,摩托尔创立的什么理论?
康托尔创立的集合论理论是实数以至整个微积分理论体系的基础。由康托尔首创的全新且具有划时代意义的集合论,是自古希腊时代的二千多年以来,人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算,它从本质上揭示了无穷的特性,使无穷的概念发生了一次革命性的变化,并渗透到所有的数学分支,从根本上改造了数学的结构,促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展。2. 著名的连续统假设指的是什么呢?
连续统是实数集的抽象。连续统描述了像实数一样的稠密,完备(无洞)的性质。
实数集只是一个连续统的例子。当然,实数集也可以说是原型,因为连续统是从实数集推广出去的。
在某些场合,连续统也可能被用来代指实数集。(可能为了强调其完备性吧)
注意不要跟“连续统的势(基数)”混淆。(即直观地看,所谓集合的大小,或者个数)
而且具有连续统基数的集合,未必是连续统。比如无理数与实数等势,具有连续统基数,但是无理数集可不具有像实数那样的完备性。
题外:连续统假设
可列集的势为 。(自然数的个数,整数的个数,平面格点的个数……)
连续统的势为 ,而且 。(想象任何一个实数可以用无限二进制表示嘛。当然,严格的话,实数的二进制表示不唯一, 。于是还得构造康托三分集,证明 。然后由康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理,得到等势)
康托对角论证可知, 。(实数是不可数的)
但 是不是大于 的最小的基数呢?即它们之间不存在其它基数?
这个问题的答案未知。连续统假设即 ( 后的第一个基数)。
从ZFC公理出发,它不可证明,亦不可证伪。
连续统是一种集合 。
(1) 是全序集。在 上定义了全序关系(也称线性序、简单序等) ,即
(反对称性)(传递性) (完全性) 定义了 ,其余的 可以导出。
(2)稠密性。 的任何两个元素 之间,必存在其它元素 。即
比如有理数 就满足稠密性,因为任何两个数,其中间有个平均数。
(3)完备性(直观地讲,无洞)。(最小上界公理,或上确界原理)任何一个 的非空子集 ,若有上界,则必有上确界。即
这个原理是硬性地规定了上确界不能掉进洞里,即上确界一定存在。(公理,不需要没有理由)
此外,最小上界公理有很多等价的论述。比如单调有界原理,也是不让极限掉进洞里。
3. 02105是无理数吗?
答:0.2105不是无理数。
什么叫无理数,无理数即无限不循环小数,用相同的解释方法,就是不能表示为比例(分数)的数,那么在原词前加表示否定的词缀,Irrational number,就是不能表示为比例(分数)的数,同时,Irrational表示不合逻辑的;没有道理的,因此,意译之下也被称之为无理数。
至此,我们知道了,有理数无理数的有无,实际上是指能否被表示为分数(比例),这一认识对将来理解分数,和学习集合论、可列性、康托集乃至实变函数都很有帮助。
可以发现0.2105不是无限不循环小数,所以不是无理数。
4. 文艺复兴后最早突破无穷禁忌的数学家是?
是康托尔。
文艺复兴以后最早突破无穷禁忌的数学家是康托尔。按照康托尔的想法,无穷与无穷之间,确实存在多少的关系。他以一一对应为原则,将能对应的两个集合称为“同势”,然后利用势来对无限集进行分类。比如说,康托尔认为最小的无穷集是自然数集(N),实数集(R)的势比自然数集的“势”要大,而一切实函数的势又比实数集的势要大也就是说,对于一个无穷集,总会有一个比它元素要多的无穷集。
5. 数统是什么意思?
连续统假设 连续统假设(continuum hypothesis),数学上关于连续统势的假设。
常记作CH。通常称实数集即直线上点的集合为连续统,而把连续统的势(大小)记作C1。2000多年来,人们一直认为任意两个无穷集都一样大。直到1891年,G.康托尔证明:任何一个集合的幂集(即它的一切子集构成的集合)的势都大于这个集合的势,人们才认识到无穷集合也可以比较大小。自然数集是最小的无穷集合,自然数集的势记作阿列夫零。康托尔证明连续统势等于自然数集的幂集的势。是否存在一个无穷集合,它的势比自然数集的势大,比连续统势小?这个问题被称为连续统问题。康托尔猜想这个问题的解答是否定的,即连续统势是比自然数集的势大的势中最小的一个无穷势,记作C1;自然数集的势记作C0。这个猜想就称为连续统假设。1938年,K.哥德尔证明了CH对ZF公理系统(见公理集合论)是协调的,1963年,P.J.科恩证明CH对ZF公理系统是独立的,是不可能判定真假的。这样,在ZF公理系统中,CH是不可能判定真假的。然而到了21世纪,前人的结论又开始被动摇了。 康托尔证明连续统的基数等于自然数集幂集的基数,并把它记作2s╲s0。康托尔还把无穷基数按照从小到大的次叙排列为s╲s0,s╲s1,…s╲sa……其中a为任意序数,康托尔猜想,2s╲sa=s╲s1。这就是著名的连续统假设(简记CH)。一般来说,对任意序数a,断定2s╲sa=s╲sa+1成立,就称为广义连续统假设(简记GCH)。1938年,哥德尔证明了CH与ZFC是相对协调的,1963年科恩证明了CH相对于ZFC是独立的,哥德尔和科恩的结果表明CH对ZFC来说是不可判定的。这是60年代集合论的最大进展之一。6. 康托定理?
历史上比较著名的康托(Cantor)定理,大致有下列三个:
康托定理1:闭区间上的连续实函数是一致连续的。
康托定理2:一个集合本身的势严格小于其幂集的势。
康托定理3:如果一个全序集是可列集,且是稠密的,无最大和最小值的,则它一定和有理数集序同构。
7. 人类是否被三维限制了思想?
和大多数回答不同,我认为人类并没有被维度限制思想。难道维度本身,不就是思想的产物吗?
一. 降维打击
刘慈欣在三体三中描述了宇宙神族对人类和太阳系的降维打击,他笔中二维化的太阳系,看起来就像梵高的《星空》。我觉得这个比喻很好,而且很有启发性:也许疑似精神分裂症患者梵高,由于某些负责认知的基因和常人有异,他眼中的世界真的就是这样的。这暗示着一个思辨:不是所有人,对客观世界的认知,都是一致的,其中可能就包括维度。
二. 《平面国》- 降维的世界也不错
实际上,早在1884年,就有一本更著名的维度幻想神作《平面国》出世。作者可是剑桥毕业,伦敦城市学院院长哦,绝对不是瞎扯的地摊书。随便看一句书里的话:“平面国的女性都是直线,所以她们都有隐身能力。” 什么时候?当然是当她们和你垂直的时候!(BTW,脑筋急转弯:三维世界的女人也有隐身能力,什么时候?。。。)
(答案:当然是她们不接你手机的时候。。。)Anyway,介绍神作的重点是提示你想象高维世界的方法:先用思想把自己变成纸片人,然后仰视我们的世界。。。
三. 四维超立方体
这个东东就是一个四维世界的立方体,有32个棱和16个顶点(数数你身边的三维盒子,有几个顶点几个棱)。别忘了人类有数学这个工具,实际上四维世界的几何体理论上可以被很好的数学化,只需引入复数的概念。所以本质上来说,四维世界并非不可描述,只是不能被一般人的大脑正常解码。这就好比你可以看懂一幅jpg图片,但看不懂编码这图片的机器代码,但这并不代表这些代码是不可理解的。
四. 我们真的生活在三维世界吗?
一说到这些总是会被老一辈人骂危言耸听和玄学,所以我必须引经据典。相当一部分现代理论物理学家认为:我们所认知的三维宇宙,实际上是一个被编码于遥远二维边界上的投影。此概念由当代著名量子物理学家戴维·玻姆(David Joseph Bohm)在《整体性与隐缠序——卷展中的宇宙与意识》一书中提及,由诺贝尔得主、荷兰乌得勒支大学的G·霍夫特于1993年正式提出。
这位大叔可是在1999年拿了诺贝尔物理奖的哦,不服找他去辩。这个理论看似荒谬绝伦,但近年来越来越被主流理论物理学界接受。因为它不但在数学上可以有完美的理论支持,而且可以用来解决一些理论物理“晴朗天空上的几朵乌云”级别的问题。比如:引力的本质是什么?黑洞能量、温度和熵之间的热力学关系是什么?
五. 一个好的问题,好过一切答案
限制人类思想的不是维度,是不再对宇宙万物提出问题。
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1. 康托尔集,摩托尔创立的什么理论?
康托尔创立的集合论理论是实数以至整个微积分理论体系的基础。由康托尔首创的全新且具有划时代意义的集合论,是自古希腊时代的二千多年以来,人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算,它从本质上揭示了无穷的特性,使无穷的概念发生了一次革命性的变化,并渗透到所有的数学分支,从根本上改造了数学的结构,促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展。2. 著名的连续统假设指的是什么呢?
连续统是实数集的抽象。连续统描述了像实数一样的稠密,完备(无洞)的性质。
实数集只是一个连续统的例子。当然,实数集也可以说是原型,因为连续统是从实数集推广出去的。
在某些场合,连续统也可能被用来代指实数集。(可能为了强调其完备性吧)
注意不要跟“连续统的势(基数)”混淆。(即直观地看,所谓集合的大小,或者个数)
而且具有连续统基数的集合,未必是连续统。比如无理数与实数等势,具有连续统基数,但是无理数集可不具有像实数那样的完备性。
题外:连续统假设
可列集的势为 。(自然数的个数,整数的个数,平面格点的个数……)
连续统的势为 ,而且 。(想象任何一个实数可以用无限二进制表示嘛。当然,严格的话,实数的二进制表示不唯一, 。于是还得构造康托三分集,证明 。然后由康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理,得到等势)
康托对角论证可知, 。(实数是不可数的)
但 是不是大于 的最小的基数呢?即它们之间不存在其它基数?
这个问题的答案未知。连续统假设即 ( 后的第一个基数)。
从ZFC公理出发,它不可证明,亦不可证伪。
连续统是一种集合 。
(1) 是全序集。在 上定义了全序关系(也称线性序、简单序等) ,即
(反对称性)(传递性) (完全性)定义了 ,其余的 可以导出。
(2)稠密性。 的任何两个元素 之间,必存在其它元素 。即
比如有理数 就满足稠密性,因为任何两个数,其中间有个平均数。
(3)完备性(直观地讲,无洞)。(最小上界公理,或上确界原理)任何一个 的非空子集 ,若有上界,则必有上确界。即
这个原理是硬性地规定了上确界不能掉进洞里,即上确界一定存在。(公理,不需要没有理由)
此外,最小上界公理有很多等价的论述。比如单调有界原理,也是不让极限掉进洞里。
3. 02105是无理数吗?
答:0.2105不是无理数。
什么叫无理数,无理数即无限不循环小数,用相同的解释方法,就是不能表示为比例(分数)的数,那么在原词前加表示否定的词缀,Irrational number,就是不能表示为比例(分数)的数,同时,Irrational表示不合逻辑的;没有道理的,因此,意译之下也被称之为无理数。
至此,我们知道了,有理数无理数的有无,实际上是指能否被表示为分数(比例),这一认识对将来理解分数,和学习集合论、可列性、康托集乃至实变函数都很有帮助。
可以发现0.2105不是无限不循环小数,所以不是无理数。
4. 文艺复兴后最早突破无穷禁忌的数学家是?
是康托尔。
文艺复兴以后最早突破无穷禁忌的数学家是康托尔。按照康托尔的想法,无穷与无穷之间,确实存在多少的关系。他以一一对应为原则,将能对应的两个集合称为“同势”,然后利用势来对无限集进行分类。比如说,康托尔认为最小的无穷集是自然数集(N),实数集(R)的势比自然数集的“势”要大,而一切实函数的势又比实数集的势要大也就是说,对于一个无穷集,总会有一个比它元素要多的无穷集。
5. 数统是什么意思?
连续统假设 连续统假设(continuum hypothesis),数学上关于连续统势的假设。
常记作CH。通常称实数集即直线上点的集合为连续统,而把连续统的势(大小)记作C1。2000多年来,人们一直认为任意两个无穷集都一样大。直到1891年,G.康托尔证明:任何一个集合的幂集(即它的一切子集构成的集合)的势都大于这个集合的势,人们才认识到无穷集合也可以比较大小。自然数集是最小的无穷集合,自然数集的势记作阿列夫零。康托尔证明连续统势等于自然数集的幂集的势。是否存在一个无穷集合,它的势比自然数集的势大,比连续统势小?这个问题被称为连续统问题。康托尔猜想这个问题的解答是否定的,即连续统势是比自然数集的势大的势中最小的一个无穷势,记作C1;自然数集的势记作C0。这个猜想就称为连续统假设。1938年,K.哥德尔证明了CH对ZF公理系统(见公理集合论)是协调的,1963年,P.J.科恩证明CH对ZF公理系统是独立的,是不可能判定真假的。这样,在ZF公理系统中,CH是不可能判定真假的。然而到了21世纪,前人的结论又开始被动摇了。 康托尔证明连续统的基数等于自然数集幂集的基数,并把它记作2s╲s0。康托尔还把无穷基数按照从小到大的次叙排列为s╲s0,s╲s1,…s╲sa……其中a为任意序数,康托尔猜想,2s╲sa=s╲s1。这就是著名的连续统假设(简记CH)。一般来说,对任意序数a,断定2s╲sa=s╲sa+1成立,就称为广义连续统假设(简记GCH)。1938年,哥德尔证明了CH与ZFC是相对协调的,1963年科恩证明了CH相对于ZFC是独立的,哥德尔和科恩的结果表明CH对ZFC来说是不可判定的。这是60年代集合论的最大进展之一。6. 康托定理?
历史上比较著名的康托(Cantor)定理,大致有下列三个:
康托定理1:闭区间上的连续实函数是一致连续的。
康托定理2:一个集合本身的势严格小于其幂集的势。
康托定理3:如果一个全序集是可列集,且是稠密的,无最大和最小值的,则它一定和有理数集序同构。
7. 人类是否被三维限制了思想?
和大多数回答不同,我认为人类并没有被维度限制思想。难道维度本身,不就是思想的产物吗?
一. 降维打击
刘慈欣在三体三中描述了宇宙神族对人类和太阳系的降维打击,他笔中二维化的太阳系,看起来就像梵高的《星空》。我觉得这个比喻很好,而且很有启发性:也许疑似精神分裂症患者梵高,由于某些负责认知的基因和常人有异,他眼中的世界真的就是这样的。这暗示着一个思辨:不是所有人,对客观世界的认知,都是一致的,其中可能就包括维度。
二. 《平面国》- 降维的世界也不错
实际上,早在1884年,就有一本更著名的维度幻想神作《平面国》出世。作者可是剑桥毕业,伦敦城市学院院长哦,绝对不是瞎扯的地摊书。随便看一句书里的话:“平面国的女性都是直线,所以她们都有隐身能力。” 什么时候?当然是当她们和你垂直的时候!(BTW,脑筋急转弯:三维世界的女人也有隐身能力,什么时候?。。。)
(答案:当然是她们不接你手机的时候。。。)Anyway,介绍神作的重点是提示你想象高维世界的方法:先用思想把自己变成纸片人,然后仰视我们的世界。。。
三. 四维超立方体
这个东东就是一个四维世界的立方体,有32个棱和16个顶点(数数你身边的三维盒子,有几个顶点几个棱)。别忘了人类有数学这个工具,实际上四维世界的几何体理论上可以被很好的数学化,只需引入复数的概念。所以本质上来说,四维世界并非不可描述,只是不能被一般人的大脑正常解码。这就好比你可以看懂一幅jpg图片,但看不懂编码这图片的机器代码,但这并不代表这些代码是不可理解的。
四. 我们真的生活在三维世界吗?
一说到这些总是会被老一辈人骂危言耸听和玄学,所以我必须引经据典。相当一部分现代理论物理学家认为:我们所认知的三维宇宙,实际上是一个被编码于遥远二维边界上的投影。此概念由当代著名量子物理学家戴维·玻姆(David Joseph Bohm)在《整体性与隐缠序——卷展中的宇宙与意识》一书中提及,由诺贝尔得主、荷兰乌得勒支大学的G·霍夫特于1993年正式提出。
这位大叔可是在1999年拿了诺贝尔物理奖的哦,不服找他去辩。这个理论看似荒谬绝伦,但近年来越来越被主流理论物理学界接受。因为它不但在数学上可以有完美的理论支持,而且可以用来解决一些理论物理“晴朗天空上的几朵乌云”级别的问题。比如:引力的本质是什么?黑洞能量、温度和熵之间的热力学关系是什么?
五. 一个好的问题,好过一切答案
限制人类思想的不是维度,是不再对宇宙万物提出问题。
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